A geometriai forma permutációinak feltérképezése

MADI ART PERIODICAL No. 5.
A geometriai forma permutációinak feltérképezése

Írta: John A. Hiigli

Azt mondják, egy rendkívüli objektummal találkozva az ember átalakul. Bennem határozottan lejátszódott egy ilyen transzformáció, amikor az 1960-as évek közepén először láttam egy geodéziai kupolát. Még határozottabban emlékszem, hogy az 1970-es évek közepén megszületett a szinergetika, s én felfedeztem az Izotropikus Vektormátrixot. Amikor egy wisconsini parkban először láttam geodetikus kupolát, a roppant esztétikai élmény abban az értelemben alakított át engem, hogy a lenyűgöző látvány egyúttal békés nyugalmat is árasztott felém.

John Arden HIIGLI (USA)

A transzformációs geometria iránti érdeklődésem akkor mélyült el, amikor egyetemistaként New Yorkban a kisgyermekek képzését kutattam, és szakdolgozatomat Fullerről és Piaget-ról írtam. A gyermek térérzékelése című könyvében Piaget leírja a Három Hegy kísérletet, a kognitív pszichológus mesteri eszközét, amely a következőkből áll: egy zöld hegy jobbra elöl, rajta házikó; balra barna hegy, magasabb a zöldnél, kissé hátrébb, csúcsán piros kereszttel; a háttérben a legnagyobb hegy, amely szürke, s csúcsát hó födi.

A különböző korú –  és különböző tapasztaltsági szinten álló – gyerekeket arra kérik, hogy képzeljék el és írják le a különböző nézőpontokból tapasztalható perspektíva változásait. Ez transzformációs geometriai probléma, amely a nézőpontok koordinálását és a relációk megtöbbszörözését feltételezi: a balra-jobbra, fent-lent és elöl-hátul viszonylataiban. A transzformációs geometria, a topológiai tér minőségi viszonyainak megértése elengedhetetlen az alaposabb tudáshoz és ahhoz, hogy felelni tudjunk a mennyiségi relációk komolyabb kihívásaira, amelyek a projektív térrel (nézőpontok), az affin viszonyokkal (párhuzamosság) és az euklideszi térrel (méréskapcsolatosak.

Ezeket az elveket még a legjobb iskolákban sem ismerik és értékelik eléggé, nemhogy a harmadik világban, és nélkülük a gyerekek kognitív és művészi kibontakozása elhal, elakad, művészeti és matematikai és tudományos igyekezetük gyöngül, az önmagukba mint kompetens egyénekbe vetett hittel egyetemben. Ezek megértése az olyan egyszerű tevékenységekhez is szükséges, mint a cipőfűző megkötése, ékszerek felvétele a tükör előtt állva, borotválkozás, polcépítés, nem szólva a matematika és tudomány összetettebb kérdéseiről.

A Chrome 143 1999-ben keletkezett. E művemben négy kuboktaédert illesztettem bele négy oktettkötegbe, mely utóbbiak mindegyike két-két másik köteggel érintkezik, négy oldala közül kettőn-kettőn. A kuboktaédert az oktettköteg első kvadránsában függesztjük fel, majd elmozdítjuk, a transzformációs geometria terminusát használva eltoljuk. Ezután forgatásnak (rotációnak) tesszük ki. Az így létrejövő második kuboktaédert lefelé toljuk, majd tükrözzük, így létrehozva a harmadik kuboktaédert. Ezt az alakzatot végül visszatoljuk, majd vízszintes tengelye mentén 180 fokkal elforgatjuk. Végül a negyedik kuboktaédert visszatükrözve eljutunk a kiindulási kuboktaéderhez. A néző feladata tehát abban áll, hogy “létrehozza a kongruenciát olyan alakzatok invariáns tulajdonságai tekintetében, amelyek egy meghatározott térben egy sor transzformáció révén térnek el egymástól” (Harry Beilin). A néző feladata végigkövetni a változásokat, miközben megfigyeli a kuboktaéderek nyolc háromszögletű lapja és hat négyzetes lapja helyzetének és színének átalakulásait.

A transzformációs kelléktárat, mérési eljárásokat és a megfeleltetések alapján álló összevetést alkalmazva a megfigyelő képes felfogni a perceptuális kavalkádot, melyet a tárgy pozíciójának és színeinek változásai okoznak, s végül eljut az állandó objektum érzékeléséig, melynek szerkezete a transzformációk során is önazonos marad.

John Arden HIIGLI (USA) Hypercube

Miután megtudtam, hogy a Chrome 143-at ki fogják állítani a Szimmetria Fesztiválon, Stephen Weillel, az IBM számítógépes rendszertervezőjével elkezdtük kidolgozni a kétnyalábos oktettköteg koordinátáit, hogy bemutathassuk a Chrome 143 kuboktaédereinek transzformációit. Ehhez a Mathematica programnyelvet használtuk, amely lehetővé teszi, hogy pontos x-y-z koordináták betáplálásával komplex struktúrákat hozzunk létre, s amellyel Stephen ismertetett meg engem. A több mint kétmillió felhasználó által alkalmazott Mathematica programcsomag a világ első számú matematikai szoftvere. Könnyedén kielégíti és összehangolja a numerikus és szimbolikus számítási rendszerek, a grafikus megoldások, a programnyelv, a dokumentációs eszközök és a többi rendszerrel való kompatibilitás elvárásait. Amióta 1988-ban piacra dobták, világszerte a legkifinomultabb és legelterjedtebb matematikai szoftverré vált.

Munkánkban a Mathematica segítségével animáltuk a rendszer által létrehozott háromdimenziós objektumok (pl. poliéderek) mozgását. A 4. oktettköteg mozgásában a következő fázisok játszódnak le:

1. Eltolás –  transzláció x mentén, 852-vel;
2. Körbeforgatás –  z tengely mentén 4-vel;
3. Eltolás lefelé ? transzláció z mentén -8/53-mal;
4. Tükrözés – rotáció x mentén 4-vel;
5. Eltolás visszafelé –  transzláció x mentén -852-vel;
6. Visszaforgatás – rotáció z mentén -4-vel;
7. Eltolás felfelé – transzláció z mentén 8/53-mal;
8. Visszatükrözés – rotáció x mentén -4-vel.