Állandóság és változás szintézise

MADI ART PERIODICAL No. 5.
Állandóság és változás szintézise (EN)
Írta: Darvas György
Szimmetria a tudományban és a művészetben

Az állandóság és a változás szintézise a szimmetriafogalom általánosításából következik. Általánosított értelemben akkor beszélünk szimmetriáról, ha minden (geometriára korlátozódó) megkötés nélkül egy tetszőleges objektum vagy jelenség valamely tulajdonsága változatlan marad valamely változás során, amelynek következtében más tulajdonságai megváltoznak. Az adott objektum változatlanul maradó tulajdonsága a szimmetria. Ebben az értelemben tekintjük az állandóság és a változás szintézisének, amely a hétköznapi élet, a tudományok, a művészetek számos területén változatos formákban megnyilvánul.

Antonia LAMBELÉ (B) Tikal-Maya 2002

Ebben az évben Budapest a fesztiválok városa lett. Közöttük az augusztus 16-22-ig első ízben megrendezett nemzetközi Szimmetria Fesztivál a tudományok és a művészetek találkozásának ünnepe volt. Tudomány, művészet sokféle van, ráadásul számos fesztivál témája ezeknek egy-egy részterülete. Ilyen tágan meghatározott érdeklődési kört csak egy jól körülhatárolható összekötő elem mentén lehet összefogni, amely valamennyi tudományban és művészetben jelen van. Ezúttal az összekötő kapocs a szimmetria volt. Ez a meghatározás azonban még mindig nagyon tág lett volna, hisz a nemzetközi rendezvénynaptárra pillantva évente több tucat olyan eseménnyel találkozunk, amelyek témái közt a szimmetria jelentős szerepet kap. Amikor mintegy másfél évvel ezelőtt egy népes szervezőgárda összefogott, hogy a világ szimmetrológusait Budapestre invitálja, első feladata az volt, hogy a tematikát partok közé terelje. Ez alkalommal a szimmetriát mint az állandóság és a változás szintézisének fogalmát, jelenségét, módszerét jelölte meg a fesztivál tematikájául. Azokat a témákat preferálta, amelyek a tudomány eszközeivel, módszereivel a közös momentumokat tárgyalják a tudományok eredményeit alkalmazó, vagy éppen fordítva, azokra hatást gyakorló művészetekben. A résztvevők tehát nem elsősorban saját tudományterületük, vagy művészeti águk szimmetriáit keresték, hanem azok más szakterületeken is fellelhető közös elemeit ” azt, ami közös szerteágazó munkájukban. Sőt nemcsak keresték, a fesztivál fórumán meg is találták.

Ahhoz, hogy a szimmetria révén átültethető problémamegoldások termékeny talajba hulljanak, szükség van a különböző szakmák szimmetria iránt érdeklődő művelőinek időszakonkénti személyes találkozására. Nem elegendőek az írott folyóiratok, az internetes diszkussziók, a magánlevelezés. A személyes találkozás és közvetlen gondolatcsere, a személyes ismeretség varázsa semmi mással nem pótolható, ráadásul utólag is hat, amikor olyan személlyel cserélünk írásban gondolatot, akivel már találkoztunk, személyesen vitattunk meg kérdéseket. Az olyan bemutatókról, ismeretek átadásáról nem is szólva, amelyeket nem lehet sem írásban, sem videón, sem CD-n, de még interaktív internetoldalon sem átadni. Ilyen fórumként szolgált a Szimmetria Fesztivál. A fesztivál, amely számos kulturális programjával az előadótermeken kívül is csaknem egy héten át napi 12-13 órán keresztül együtt tartotta a résztvevőket, azért bizonyult alkalmas eseménynek az interdiszciplináris diskurzusokra, a szó szoros értelmében vett gondolatcserékre, mert az igazi eszmecserék ezeken a kötetlen fórumokon folytak.

A szimmetriafogalom történeti háttere

A szimmetria hagyományos fogalma az európai kultúrkörben a görög sym és metros szavakból tevődött össze, és szó szerinti értelmezésében a dolgok közös mértékét jelenti. Mind a fogalom, mind pedig az általa jelölt jelenség alkalmazása jóval korábbi eredetű, a bibliai, sőt az azt megelőző időkbe vezet vissza. Univerzális jellegű, mert a világ valamennyi kultúrkörében ” egymástól függetlenül ” megjelent. Az évezredek során maga a fogalom számos jelentéstartalmat vett fel, amelyek nem zárták ki egymást. Így a szimmetria fogalma egyre gazdagodott, amíg a fentebb definiált mai tág értelmezését elnyerte. Ez a tág értelmezés avatta olyan általános fogalommá, amely a diszciplínák, művészeti ágak, emberi kultúrák határain átnyúlva tudományos ismereteink és művészi tevékenységünk egészében hat és alkalmazható.

A szimmetria fogalma elsőre mindenkinek ” fő tevékenysége szerint ” mást és mást jelent, annak megfelelően, hogy a maga szakterületén milyen elsődleges jelentőséggel bír. Másodsorban azonban hordozza mindazokat a jelentéstartalmakat, amelyeket a fogalom részben eleve magában rejt, főként azonban más területekről kölcsönöz. Nos, ez utóbbi tulajdonsága ruházta fel a szimmetriát olyan megtermékenyítő erővel, amely a tudományos heurisztikában, a művészi alkotói fantáziában ennyire kreatívnak bizonyult.

Marek RADKE (PL) Untitled 2003

A mai hétköznapi ember számára a szimmetria elsősorban a tükrözést, tükörszimmetriát idézi fel. Geometriai értelemben ez azt jelenti, hogy egy alakzatot tükrözünk valamely tengelyre (síkban), vagy síkra (térben), és az alakzat geometriai tulajdonságai (mérete, szögei, formája) változatlanok maradnak a tükrözéssel mint művelettel szemben. Csaknem ennyire közismert a forgatással szembeni változatlanság, a forgásszimmetria fogalma. Kevésbé közismert, de a díszítőművészetben, építészetben, kristálytanban és morfológiában még nagyobb jelentőségű az eltolással szembeni invariancia: a transzlációs szimmetria fogalma. Bizonyos tulajdonságok megőrzését szolgálja a hasonlósági transzfomáció, illetve az affin leképezés. Ezek valamennyien a geometriai szimmetriák osztályába tartoznak, de alkalmazásaik révén számos tudományban és a művészi alkotásokban is jelen vannak. Több szimmetriatranszformáció együtt alkalmazva további szimmetriákat eredményez. Például a hasonlóság és az affin leképezés adják a perspektívát.

Érdemes megjegyezni, hogy vagy másfél évezreden keresztül, amíg a reneszánsz újra fel nem fedezte magának Vitruvius 10 könyvét az építészetről (Tíz könyv az építészetről, Képzőművészeti Kiadó, Budapest, 1988, ford. Gulyás D.), a szimmetria nem elsősorban ezeket a geometriai tartalmakat hordozta, hanem a görögök által már használt, ma úgy mondanánk, átvitt – valójában az ő számukra nagyon is eredeti – értelmét a kifejezésnek, ti. arányosságot, harmóniát, ritmust. Tulajdonképpen “a dolgok közös mértéke” éppoly egyenrangúan jelenti mindezeket, mint az euklideszi geometriában használt és már elvonatkoztatást is tartalmazó jelentése. Elvonatkoztatás alatt azt értjük, hogy amikor bizonyos műveletekkel szembeni változatlanságról beszélünk, egyrészt elvonatkoztatunk az adott dolog egyéb tulajdonságaitól (csak a megmaradóra vagyunk tekintettel), másrészt ” a következő lépésben ” elvonatkoztatunk attól a konkrét művelettől is, amellyel szemben az adott dolog invariáns marad. Általánosított értelmében szimmetriának tekintjük, ha az adott dolog valamely művelettel szemben invariáns (bizonyos tulajdonságaiban változatlan) marad. Később ezt nem valamely műveletre, hanem bármely művelettel szembeni invarianciára kiterjesztettük.

A görög művészet számára a szimmetria, vagyis a harmónia, az arányosság, a ritmus megtestesítői voltak szobraik, az aranymetszés arányait ” eleinte csak ösztönösen ” követő épületeik, vázáik, tálaik, épületeik díszítő elemei, képei; zenéjük, drámáik, verseik ritmusa. Mindezek létrehozása a mester számára a tökéletesség megközelítését célozta. Ez a tökéletesség vezette Platónt, amikor a legtökéletesebb formákat keresvén megállapította, hogy öt és csakis öt szabályos síklapokkal határolt test létezik (vagyis, amelyeket kizárólag egyféle, egybevágó, szabályos síkidom határol, s éleik hossza, valamint szögeik és lapjaik megegyeznek). Nevezetesen a szabályos tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder. Ez Arisztotelész formatanának is alapjává vált (aki kiegészítette a félig szabályos, vagyis szimmetrikus elrendezésben akár kétféle határoló síkidomot is megengedő testekkel), de ugyanez a tökéletességre törekvés jellemezte az utóbbi logikájának kidolgozását is, amely kijelentéseink és azok igazságtartalma között teremtett szabályos rendet. A szimmetria kötőeleme segítségével így fonódott össze egységes világképpé az igazság és a szépség (továbbá az etikai értelemben vett jóság) keresése mint a tudomány és a művészet két fő hajtóereje. Hogy mennyire princípiummá vált a világ tökéletességébe, s ezzel együtt szimmetrikusságába vetett hit az ókori ember világképében, jól példázza Hérodotosz leírása az általa ismert világról, ahol a szimmetriába vetett hitét hajlamos fölébe helyezni a tapasztalat bizonyosságának (Hérodotosz művei, II.26., 33-34. sor). Ugyanez inspirálja később Keplert a világ harmóniájának (Harmonices mundi, 1619) megírásában.

Gilbert DECOCK (B) Bleu-Bleu 2002

A görög kultúra aranykorát követően a reneszánszban két évezred után még egyszer összekapcsolódott a tudomány és a művészet egyidejű felvirágzása, hogy azután újra szétváljon. A szimmetria arányosság, harmónia, ritmus értelmű jelentései ezután a művészet kategóriáivá váltak, míg az egzaktabb, geometriai jelentések váltak a tudomány sajátjaivá. Gondoljunk a reneszánsz művészet szimmetriaallegóriáira, amelyek korántsem korlátozódnak geometriai idomok ábrázolására, mint századunk szimmetriai tárgyú kiállításai műtárgyainak jelentős része. (Vö. Dionisio Calvaert: A Szimmetria Allegóriája c. grafikája, Bologna, XVI. sz.; Szépművészeti Múzeum Grafikai Tára, Budapest, No. K.66.25; Leonardo rajzai; Dürer Négy könyve az emberi test arányairól, Nürnberg 1528; Shakespeare: “LIV. szonett, 1609). A szép és igaz – már Arisztotelésznél említett – allegóriája köszön vissza később a romantikában, például Keats levelezésében és az utókor által oly sokat elemzett “Óda egy görög vázához” című versében (1817).

Az újkor racionalitása megpróbálta kiszorítani a harmónia, arányosság, ritmus fogalmát a tudományból, másrészt az egzakt geometriai szimmetria ábrázolása idegenné vált e kor művészetétől. Bár a barokk építészet a szimmetria új elemeit kezdi alkalmazni (pl. ovális alaprajzok, csavart oszlopok), ezeket szégyenlősen elkendőzi az aszimmetrikus ornamentika túlhangsúlyozása. Hogy mennyire a felszínt mutatja mindez, azt maguk a tudósok tudják a legjobban, hisz ki ne törekedett volna a maga tudományterületén az eredmények elérésének, illetve megjelenítésének szép, esztétikus, harmonikus módjára.(Vö. a geometria bizonyításait, a mechanika törvényeit leíró matematikai egyenletek megfogalmazását, a variációs elveket, az elektromosság törvényeinek megfogalmazását, az anyag szerkezetének kutatását, a morfológiai leíró biológiát stb.) Hadd illusztráljam a szimmetriára való törekvés vezérlő szerepét tudományos gondolkodásunkban egy James C. Maxwelltől vett idézettel! A tudós – akinek elektrodinamikai törvényei (bár implicite számos szimmetriát hordoznak) megfogalmazásukban a fizika kevéssé szimmetrikus alapegyenletei közé tartoznak – a Royal Society ünnepi ülésén 1871 januárjában tartott előadását a következő szavakkal kezdte: “Mathematics loves symmetry above all” [A matematika mindennél jobban szereti a szimmetriát].

A világ rendezettségébe vetett hit végigkísérte a tudomány történetét. A XVII-XIX. században egymás után fogalmazzák meg a fizika megmaradási törvényeit. Ezek mind a szimmetria megjelenési formái: a mozgásmennyiség, az energia, az elektromos töltés stb. megmaradása azt jelenti, hogy ezek a mennyiségek invariánsak a velük jellemzett, rendszeren végzett változtatásokkal szemben. A szimmetriafogalom ilyen értelmű általánosítását fogalmazta meg E. Noether két tétele egzakt matematikai formában (1918), amely forradalmasította a XX. századi fizika további fejlődését és önálló fejezetet nyitott a szimmetriakutatások számára.

A szimmetria témakörének aktualitása

Az absztrakcióban legmesszebb menő fizikai szimmetriákon kívül két alkalmazási terület játszott meghatározó integráló szerepet a XX. század második felében a szimmetriák tanulmányozása során. Az egyik a designhoz, a másik a szinergetikához kapcsolódik. Természetesen mindkettő szorosan kötődik az építészeti alkalmazásokhoz is, a szimmetrológusok számára azonban azért kedvesek, mert tág lehetőséget kínálnak arra, hogy különböző területeken dolgozó mérnökök, tervezők, művészek és kutatók gondolatokat, megoldási ötleteket, módszereket kölcsönözzenek egymástól.

Túl azon, hogy a XX. sz. második felében a szimmetriák kapcsán felfedezések egész hulláma indult a fizikában, túl azon, hogy más tudományokban is heurisztikus szerepet töltött be a szimmetria keresése (pl. Watson és Crick végső soron szimmetriamegfontolások alapján találta meg a DNS helyesnek bizonyult szerkezeti modelljét) vagy hiányának hatása (pl. a szimmetriasértés, a kristályok diszlokációinak vizsgálata az anyagok tulajdonságainak egész sorát ismertette meg velünk, többek között a félvezetők tulajdonságait, amely forradalmasította az elektronikát és ezen keresztül az informatikát; az agyi aszimmetriák kutatása nemcsak az emberi agy működésének megértéséhez vitt közelebb, de a pszichológia és az oktatás területén is megannyi új hasznosítható ismerettel gazdagított bennünket, többek között erre, vagyis az agyféltekék arányos terhelésére épült Zsolnai József törökbálinti kísérleti iskolájának pedagógiai programja; vagy említhetjük a nem-egyensúlyi termodinamika eredményeit Onsagertől Prigogine-ig), az elmúlt évtizedekben a távolabbi (tudomány és művészet, természet- és társadalomtudomány közötti) kölcsönhatások is néhány forradalmian új eredmény létrejöttéhez vezettek. Miközben a világ ” sok tekintetben okkal ” félt a szakmai beszűküléstől, a szakmai specializálódás szakbarbárrá válást eredményező hatásaitól, néhány területen a korábban merésznek, idegennek hitt területekről átvett módszertani vagy tényanyagbeli ismeretek, ötletek vezettek sikerekhez. A szimmetriagondolat egyik életben tartója, sőt kiteljesedésének motorja lett az interdiszciplináris kutatásoknak, amelyekben nemcsak különböző tudományok, hanem tudomány és művészet is hatott egymásra.

SAXON-SZÁSZ János (H) Polidimenzionális fekete négyzet (2000)

A múlt század óta emlegetett, szinte meseszerű példa Kekulé állítólagos álma az egymás kezét fogva körtáncot lejtő ördögökről, amely a benzolmolekula szerkezetének felismeréséhez adott ötletet. Hasonló példa kortársaink közül M. Gell-Manné, aki Buddha meditációjának nyolcas útjából szerzett inspirációt a hadronok bizonyos tulajdonságok alapján való oktettbe rendezéséhez, amely szintén sikeresnek bizonyult, s az Omega-mínusz részecske felfedezésének megjóslásához, az SU (3) szimmetriacsoportnak az elemi részek rendezésében játszott szerepének felismeréséhez, majd a még elemibb építőkövek, a kvarkok megjóslásához vezetett. (Érdemes megfontolni, munkatársai között milyen magas arányt képviselnek a keletiek.) A távolról jött gondolatok heurisztikus szerepe tehát nem idegen a tudományban. Különösen nem a szimmetriamegfontolások esetében.

Az elmúlt két évtized két felfedezését szeretném külön kiemelni, amelyek nemcsak a szimmetriák alkalmazásának sikerességét jelzik, hanem fellendülést is hoztak a tudatosabb alkalmazáskeresésben. Mindkettő a legtágabban vett interdiszciplináris gondolkodás termékenységének ékes példája. Előrebocsátom, hogy példa több is akad, különféle művészeti és tudományágakban (pl. a japán origami úttörő alkalmazása összehajtogatott szerkezetek űrbe juttatására, majd automatikus szétnyitására), de megítélésem szerint ez a kettő a legismertebb, és ezek töltöttek be leginkább úttörő szerepet. Az egyik a kvázikristályok, a másik a fullerének felfedezése.

A kvázikristályokhoz vezető út a lefedési problémáknál kezdődött, amely nemcsak a geométereket, de a díszítőművészeket is évezredek óta izgatta. A csempézés a design egyik alapművelete. Nyilvánvaló tény, hogy a síkot nem tudjuk hézagmentesen lefedni (kiparkettázni) egybevágó, szabályos (egyenlő oldalú és egyenlő szögű) ötszögekkel. Szabályos háromszögekkel, négyzetekkel, hatszögekkel igen, nem szabályos ötszögekkel is, de csupa egybevágó szabályos ötszöggel nem. E probléma megoldhatatlansága, amely matematikailag pillanatok alatt belátható, bizonyos misztikus fénybe került a tudomány és a díszítőművészet története során. Irodalmilag ismert leírásával már Dürernél találkozunk. A problémát úgy próbálták áthidalni, hogy keressünk ötszöges szimmetriát, amellyel a síkot végtelenül le tudjuk fedni, de adjunk fel legalább egy követelményt. Ilyen lehet a hézagmentes lefedés, az ötszögek szabályossága, vagy a mozaikelemek egybevágósága. Nos, R. Penrose 1974-ben oldotta meg a sík hézagmentes ötfogású szimmetriát mutató lefedését úgy, hogy az ismétlődő elemek kétféle rombuszból tevődnek össze, s rámutatott a lehetséges krisztallográfiai alkalmazásokra is. (Hasonló rombuszos megoldással próbálkozott már Dürer is.) Mivel a kristályok térbeliek, a Penrose-féle elrendezést általánosítani kellett három dimenzióra. A síkbeli szabályos ötszögnek a térben a dodekaéder felelne meg, amelyet csupa szabályos ötszöglap határol. Természetesen a teret sem lehet dodekaéderekkel hézagmentesen kitölteni. Ráadásul a XIX. század nyolcvanas-kilencvenes évei óta (Schönflies és Fedorov nyomán, 1891) ismerjük az összes, 230 lehetséges kristálycsoportot, amelyek azonos, egybevágó elemeivel hézagmentesen kitölthető a tér. Ezek között ötszöges szimmetriát mutató elem nem fordul elő; úgy is mondhatnánk, ezekkel a feltételekkel ez matematikailag kizárt. Különböző cellaelemeket feltételezve azonban elképzelhető, bár a klasszikus definíció értelmében ezeket nem szabad kristálynak tekinteni. Ezért nevezik őket a mai napig is kvázikristályoknak. Penrose elrendezése nyomán előbb A. Mackaynek sikerült egy közelítő háromdimenziós megoldást találnia, majd T. Ogawának a távol-keleti bambuszrúd-fonás tapasztalatait felhasználva tökéletesítenie ezt. A nyolcvanas évek elejére tehát elméletileg megjósolták az ötfogású szimmetriát mutató kristályszerkezetek lehetőségét. (A geometriai térkitöltés lehetőségéből nem következik automatikusan, hogy a kémiai kötések stabilitása is megvalósul az adott élek mentén.) 1982-ben a Washington melletti Nemzeti Szabványügyi Hivatal laboratóriumában ” a Wolf-díjjal kitüntetett ” D. Shechtmannak és munkatársainak sikerült először kimutatniuk természetes kristályban az ötfogású szimmetriát. Az ötfogású szimmetria nem volt többé tabu, s a krisztallográfusok nem dobták hibás eredményként a szemétbe az ötös, tízes forgásszimmetriát mutató röntgendiffrakciós filmeket. Szinte ezzel egyidejűleg vagy röviddel ezt követően szerte a világon sikerült ilyen szimmetriát mutató ötvözeteket kimutatni (Magyarországon Csanády Ágnesnek és munkatársainak).

DAI (H) Diszlokáció 1983-2003

A fullerének története talán még változatosabb. Ez a felfedezés a szinergetikai elv érvényesülését követve született meg. Láttuk, hogy a síkot szabályos három-, négy- és hatszögekkel ki tudjuk parkettázni, de ötszögekkel nem. Mi a helyzet egy gömbfelülettel” A szabályos testek példájáról tudjuk, hogy ez szabályos három-, négy-, és ötszögekkel lehetséges, hatszögekkel azonban nem. Egy csupa hatszögekkel határolt test létezése ellentmond Euler szabályának, amely a test lapjai, élei és csúcsai között állít fel összefüggést. Megoldható azonban a feladat, ha a hatszögek közé ötszögeket iktatunk. A feladat megoldását a vesszőkosárfonók évezredek óta ismerik. A hatszöges fonásba, legalább annak lezárásakor (de mivel ez rontja a megfont tárgy szimmetriáját, inkább ismétlődően) ötszöges vesszőtalálkozásokat kell iktatni. Ilyen, felületükön váltakozva öt-, illetve hatszögeket tartalmazó testfelületet alkotnak a (vízi) életfeltételeik által gömbszimmetrikust megközelítő forma felvételére kényszerített egyes sugárállatkák. Elektronmikroszkópos felvételek tanúsága szerint egyes vírusok is öt- és hatszögekből álló testfelületet mutatnak. A természet tehát, éppen az egyszerűbb élőlények világában, előszeretettel képez ilyen szerkezeteket. Mindezek a szerkezetek azonban alig voltak ismertek a biológusok laboratóriumain kívül, amíg Buckminster Fuller amerikai építész, aki a szinergetika tudományának is egyik megalapítója volt (és mint ilyen az optimális stabilitású és struktúrájú tartószerkezetek megtervezésére törekedett), az 1967. évi montreali világkiállításra meg nem építette világhírűvé vált geodetikus kupoláját. A feladatnak több megoldása létezik, szimmetrikus elrendezések nyerhetők 60, 70, 84 stb. csúcsot tartalmazó, váltakozva öt- és hatszögekkel borított poliéderekkel. A legkevesebb elemet tartalmazó, 60 csúcsból álló Fuller-féle (fullerén) poliéder elrendezést használják a hetvenes évek óta a futball-labdák varrásához, mert ezzel a labda nagyobb stabilitása és súlyának gömbszimmetrikusabb eloszlása érhető el, mint a korábbi varrásmintákkal. A montreali dóm tartószerkezete, a futball-labda varrásvonala optimális tehereloszlást mutat. Ugyanerre törekszik a kémiai kötések iránymegoszlása is a molekulákban. Miután a kémiai kötéseknek az elektronok eloszlása miatt töltésszimmetriát is mutatniuk kell, és ez a szerkezet ezt produkálja, várható volt, hogy óriásmolekulák is előállíthatók ezzel a struktúrával. Így sikerült elméleti, valamint technológiai előkészületek után 1985-ben Krotónak, Smalleynek és munkatársaiknak először kimutatniuk az első 60 és 70 atomos, a szerkezeti vizsgálatok alapján fullerén elrendezést mutató, csupa szénatomból álló molekulát, majd többévi kísérletezés után 1988-ban grafitkorom elpárologtatásával Krätschmernek és munkatársainak jelentősebb mennyiségű (kvázi) “kristályosodott” fullerént előállítaniuk. Egyúttal magasabb számú, több száz szénatomból álló fullerén szerkezetű szénmolekulák is keletkeztek. (A stabilitásukra, valamint a felfedezés történetére vonatkozóan bővebben lásd Braun T. és Beck M. cikkét a Magyar Tudomány 1992. évi 12. számában, 1415-1441.) Miután elvileg e szimmetrikus óriásmolekula bármely atomjához különböző gyökök köthetők, akár kívül, akár a gömbön belül elhelyezve, a fullerének a mesterségesen előállítható molekulák hatalmas osztálya előtt nyitották meg az utat. A lehetséges kombinációk alapján megjósolható, hogy külön fejezetet nyitottak a kémia történetében. Ennek az útnak a tudatos megnyitója B. Fuller, az építész volt. S vajon ki volt a “nem tudatos” úttörő? Nos, a 60 csúcsból, 12 szabályos ötszöggel és 20 szabályos hatszöggel határolt csonkított ikozaédert már Leonardo da Vinci megrajzolta: Luca Pacioli De Divina Proportione című könyvében (1509) látható a félig szabályos testek egyik illusztrációjaként.

A szimmetriaelvek alkalmazásának eredményessége mindig tovább erősíti a természet rendezettségébe vetett hitet. Az alkotó elme ott is keresi a rendet, ahol azt eddig nem sikerült fellelni. Ennek eredménye a hetvenes évek óta (B. Mandelbrot, 1975) nagy karriert befutott fraktálgeometria, amelynek alkalmazásai tudományágak egész sorában vezettek sikerre (szilárd testek és folyadékok fizikája, geológia, meteorológia, bakteriális biológia, kolloidképződés, önszerveződő rendszerek létrejötte, és a sor még feltehetőleg bővülni fog). A fraktálok bizonyos értelemben véve részlegesen rendezett struktúráknak tekinthetők, amelyek körében sikerült törvényszerűségeket felismerni. Egyúttal megmutathatók a fraktálok sajátos szimmetriatulajdonságai is (pl. az izotróp módon kifejlődött fraktálstruktúra egésze ismétli egyes részeinek struktúráját; a fraktál önmagához hasonló, vagy affin). (Vö. Vicsek Mária és Tamás előszava, Symmetry: Culture and Science 1993/3 [Fraktál] 227-228. l.) A nyolcvanas évek eleje óta a matematikusok a káosz jelenségeiben is keresik a tudatos rendet (R. Thom, 1983), és nem is sikertelenül. Ennek alkalmazásai ma már a fizikában, légkörfizikában is megjelennek.

Művészet és tudomány egymásra hatása nem volt egyirányú. Az alkotóművészek fantáziáját korábban is, de a XX. században különösen megmozgatta néhány tudományos gondolat. Legismertebbek ezek közül a négydimenziós térábrázolások, a mikrovilág szemmel fel nem fogható struktúráinak makroszkopikus modelljei, kvázikristály-modellek, és még sorolhatnánk. Magritte, Le Corbusier, Hindemith vagy Escher művei ma már századunk klasszikusai közé tartoznak, sőt utóbbi munkássága iskolateremtőnek bizonyult.

Pal HORVATH (H/B) Bleu-rose-vert 2002

A szimmetria az önállósuló designban a huszadik század eleje óta összekötő kapocs a tudományok és a művészetek között. Ekként vonult be az oktatásba a Bauhausban, majd annak utódintézményeiben. Feltehető a kérdés, hogy a mai szimmetrológia mit vállalhat a gropiusi kiáltványok alapelveiből, illetve mivel szükséges a mai kor számára kiegészítenie azokat. Nos, a több mint nyolcvan éve megfogalmazott elvek ma is hiánytalanul vállalhatók. Kiegészítésre szorulnak azonban a műszaki fejlődés eredményeivel. A mai design elengedhetetlen eszköze a számítógép. A számítógép ugyan éppúgy nem hoz létre magától új formákat, ahogy az ecset sem fest magától képet, de az alkotó emberi elme kiegészítőjeként a tervezésnek olyan hatékony eszköze lett, amely minőségileg változtatta meg a designt. Ez a minőségi változás a legutóbbi másfél évtizedben vált meghatározóvá, részben azzal, hogy mindenki számára könnyen kezelhető interfésszel felszerelt programok kerültek forgalomba, részben azzal, hogy a személyi számítógépek ebben az időszakban terjedtek el olyan mértékben, hogy szinte minden tervező, kutató, sőt laikus felhasználó számára is hozzáférhetőek és egymással összekapcsolhatóak lettek. Ha valami igazán minőségi különbséget felfedezhettünk a mostani szimmetriafesztivál, illetve a Budapesten legutóbb tizennégy éve rendezett hasonló léptékű szimmetriarendezvény között, akkor ez a számítógépes design alkalmazásaiban érhető tetten. Ez a ma már természetesnek tűnő eszköz és felhasználói programjai új integráló elemként szerepelnek a tudomány és a művészet határán.

Magyar hagyományok

Magyar vagy magyar származású tudósok, művészek számos területen meghatározó szerepet játszottak a szimmetriák alkalmazásában. Mindjárt Eschernél maradva, a vele levelezésben álló Pólya Györgyöt és a magyar geometriai iskolát kell említenünk, a maiak közül pedig Fejes Tóth Lászlót és tanítványait. Az algebrai ágon Wigner Jenőt, aki 1928-ban, még Magyarországon írta meg A csoportelmélet és alkalmazásai az atomi spektrumok kvantummechanikájában című könyvét, amely H. Weyl kortárs művével együtt a szimmetriák csoportelméleti tárgyalásának alapja lett a fizikában, s amely az ötvenes években a Wignert a Nobel-díjhoz vezető fizikai szimmetriák kutatásának módszertani alapja lett. Wigner később általánosította szimmetriafogalmát, és a (matematikusok által Hambidge nyomán tőle eltérően használt) dinamikus szimmetria fogalmának merőben új értelmet adott (vö. Wigner J.: Szimmetriák és Reflexiók, Gondolat, 1972). Neumann János életművében a játékelmélet kapcsán játszottak szerepet szimmetriamegfontolások, munkásságának éppen azon a területén, amelyeket a későbbi Nobel-díjas Harsányi János alkalmazott közgazdasági matematikai eredményeiben. A szerkezeti kémia, krisztallográfia vonalán a nyolcvanas évek végén Hargittai István éppen a szimmetria interdiszciplináris alkalmazásait reprezentáló, később könyv alakban is megjelent, folyóirat-különszámmal (Computers and Mathematics with Applications 1, 2, 12B, 1986) nyerte el az Amerikai Kiadók Egyesületének rangos díját. Műszaki területen a Roska Tamás nevéhez fűződő mesterséges retina megalkotása azért emelendő ki e helyütt, mert létrejöttéhez az agyi aszimmetriák tanulmányozásán, s épp ennek mintájára az analóg és a digitális komputer kombinált felhasználása révén jutott el munkatársaival.

A műszaki design terén Rubik Ernő világhírűvé vált megoldásai annyira közismertek, hogy kommentárt nem is igényelnek. Szondi Lipót antiszimmetria-párokon alapuló tesztjeit ma is alkalmazza a klinikai pszichológia. A huszadik század művészeti mozgalmai bátran írták zászlajukra a szimmetria tudatos alkalmazását. Magyarországról Kassák aktivista, konstruktivista törekvései váltak határainkon túl is ismertté, külföldön pedig a Bauhaus magyar professzorai építették be alkotó- és oktatóprogramjukba tudatosan a szimmetria szerepét, s ennek révén a kor élenjáró tudománya, műszaki alkotásai, valamint a művészetek valamennyi ága közti hídverést; közülük is leginkább Moholy-Nagy László vált iskolateremtő egyéniséggé. A világ képzőművészete az op-art révén fogadta nagyjai közé Victor Vasarelyt, az egyensúlyra épülő mobiljai révén Schöffer Miklóst, a modern technika és a műalkotás, a szemiotika és a művészet összekapcsolása révén Kepes Györgyöt. A zenetudományban Lendvai Ernő elméleti munkássága tárta fel a világ számára Bartók zenéjének szimmetriatulajdonságait, a Fibonacci-számsorozat és az aranymetszés szerepét a zenei szerkezetépítésben.

Nem kis mértékben néhány tudományos eredménynek köszönhetően ” mint pl. a szimmetriaelvek alkalmazásának több évtizedes diadalútja a mikrofizikában, valamint a krisztallográfia és a kémia idézett eredményei s néhány további siker révén ” a nyolcvanas években a szimmetria egyre fokozódó mértékben vált a közérdeklődés tárgyává. A szimmetria volt az az integráló jelenség, illetve hozzá kapcsolódó fogalom, amely a görög aranykor és a reneszánsz után újra közös színpadon léptette fel a művészeket és a tudósokat.

A fesztivál

HAÁSZ István (H) MADI-DIMA 2003

A fesztiválon elhangzott előadások közül néhány olyat szeretnénk ehelyütt kiemelni, amelyek eredetien új kutatási eredményekről számoltak be, amely nem jelenti azt, hogy összegző, elemző, illetve review jellegű előadások nem tartoztak ugyancsak a sztárprogramok közé.

A geometria területén a legnagyobb újdonságot talán J. F. Aarnes és S. H. Knudtson norvég kutatók szolgáltatták Morley háromszögre vonatkozó tételének (egy tetszőleges háromszög belső szögharmadolóinak metszéspontjai mindig szabályos háromszöget alkotnak) új bizonyításával, amelynek illusztrálására a számítógépes design lehetőségeit maximálisan kihasználták. Az új bizonyítás a szögekre vonatkozó aritmetikai számítások helyett kifejezetten szimmetriamegfontolásokra épül. J. Ozone az úgynevezett fix-pont tételt a hagyományos japán geometria, a waszan szabályai szerint bizonyította ” a számítógépes vizualizációt igen szemléletesen, de csak az illusztrálásra felhasználva “, rámutatva ez utóbbi alkalmazásaira az origami (szétvágás nélküli papírhatjogatás) törvényszerűségeiben. Hasonló eszközökkel mutatta be Roberto Giunti a Paul Klee formabontó perspektívakísérleteiben megmutatkozó rejtett szabályosságokat, s hogy miként tekinthető a megtöbbszörözött néző- és enyészponttal rendelkező perspektívájú ábrázolás egy sajátos, összetett szimmetriaműveletnek. Ugyancsak geometriai újdonság volt Perjés Z. előadása, amely a hat, különböző színekkel megjelölt lapú kockából alkotott tóruszok egy problémáját oldotta meg.

A poliéderek világa hangsúlyozottan szerepelt a fesztivál programjában. A számítógépes reprezentáció forradalmasította a poliéderekről megszerezhető ismereteink lehetőségeit, és napjaink kutatói élnek is vele. Kabai S. és Bérczi Sz. számítógépes programok felhasználásával mutatták be, hogyan építhető meg egy képzeletbeli űrállomás szerkezete illeszkedő poliéderrendszerekből, amely a fő funkcionális követelményeket ki is elégíti.

Darvas György előadásában megmutatta, miként tekinthetők a kváziperiodikus lefedések mértékszimmetriának, továbbá bemutatta, hogyan lehet ” színkódokkal jellemzett pontokból álló mátrixnak tekintett ” képeket a matematikai mátrixfelbontáshoz hasonló módon (egy szabadalmazott eljárással) szimmetrikus és antiszimmetrikus összetevőkre bontani, s miként használható mindez ” a művészi képelemzésen kívül ” műszaki alkalmazásokban. A világ szimmetrikus és antiszimmetrikus összetevőkre bontása a keleti filozófiák visszatérő eleme volt. Hasonló gondolatok merültek fel K. Trivedinek az indiai Talamana rendszerről bemutatott elemzésében. A szimmetria és az antiszimmetria egysége a kínai változások könyvének is alapeleme volt ” gondoljunk csak a jin-jangra “, s a változások könyvének szimmetriái a hármas kódok algebrájában is előfordulnak. Erre a gondolati és formai hasonlóságra mutatott rá Sz. Petuhov a genetikai kódok és a fehérjeszintézis algebrája kapcsán. A genetikai kódok és a tripletjeikből felépíthető fehérjeszintézis algebrája napjaink genetikájának gyorsan bővülő kutatási területe. Sz. Petuhov, ennek az algebrai nyelvnek egyik úttörője, először itt mutatta be nemzetközi fórumon e tripletek biperiódusos rendszerbe foglalására vonatkozó eredményeit és annak lehetséges alkalmazásait, illetve következményeit.

A kiállítási program középpontjában a huszadik század napjainkban is továbbélő geometrikus képzőművészeti irányzatai álltak. A kiállításokat Beke László elemző művészettörténeti bevezetővel nyitotta meg. Ezen irányzatokon belül is hangsúlyozott szerepet és külön kiállítást szentelt a fesztivál a MADI (mozgás, absztrakció, dimenzió, invenció) irányzatának, amely a konstruktivizmus geometrikus jellegét megőrizve többek között kilépett a kép síkjából, szakított a téglalap szabta keretek korlátival, és vállalta a színek kontrasztja által kínált variábilitást. Dárdai Zsuzsa a kiállítások kurátoraként, Fejérvári Boldizsár pedig a MADI-ról szóló előadásában elemzte újszerű megvilágításban a képzőművészet és a szimmetria sajátos kapcsolatát.

A fesztivál keretében megemlékezésekre is sor került. Több előadás emlékezett meg a pár hónapja elhunyt S. M. Coxeterről, aki nagyon készült arra, hogy ezen a fórumon még előadást tartson. Külön szekció emlékezett meg a szimmetriamozgalom két kiemelkedő “filomorf” tagjáról, C. Smithről, aki 1989-ben még itt volt az előző nagyobb budapesti szimmetriarendezvényen, s most lenne száz éves, illetve Arthur Loebről, aki e fesztivál egyik szellemi előkészítője volt, és itt szerette volna ünnepelni nyolcvanadik születésnapját.

A további rendszeres fórumok szervezése és a folyamatos kapcsolattartás, kölcsönös informálódás érdekében a fesztivál résztvevői elhatározták egy új nemzetközi egyesület, az International Symmetry Association (ISA) létrehozását, amely az egyéni tagok mellett kollektív tagokat is tömörít. A szimmetriamozgalom megújulása és egy új szervezeti forma iránti sürgető igényt jelzi, hogy taglétszám néhány hét alatt közel ötven országból több száz tagra bővült. Az egyesület keretében rövid idő alatt öt tematikus vitacsoport, klub, társaság alakult egyes szakterületek szimmetriáinak vitafórumául, s folyamatosan szerveződnek a továbbiak.